Math_1: Luật Bayes.

Luật Bayes

Luật Bayes là cơ sở của hệ thống loại trừ và mạng Bayes mà mình sẽ đề cập đên đến sau này.

Nhắc lại xác suất có điều kiện:

$$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$$

Định luật tổng xác suất: Coi $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{k}$ , là các phần nhỏ của không gian mẫu Ω, , Ω= $\cup_{j = 1}^{k} A_{j}$ , $\emptyset = \cap_{j = 1}^{k} A_{j}$ và biến cố $B$ bất kì, ta có:

$$P(B)=\displaystyle \sum_{i=1}^kP(B|A_i)P(A_i)$$

Chứng minh: Định nghĩa $C_{j} = B A_{j}$ , ta có $C_{1}, . . ., C_{k}$ không giao nhau và $B = \cup_{j = 1}^{k} C_{j}$ , do đó: $$P(B) = \sum_{j}P(C_j)= \sum_{j}P(BA_j)=\sum_{j}P(B|A_j)P(A_j)$$

Luật Bayes: Với các $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{k}$ , Ω, $B$ được định nghĩa ở trên, ta có: $$P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{j}P(B|A_j)P(A_j)}$$

Chứng minh: $$P(A_i|B) =\frac{P(BA_i)}{P(B)}=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{P(B)} =\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{j}P(B|A_j)P(A_j)}$$

Ví dụ: Định nghĩa một email gồm $A_{1} = " s p a m "$ , $A_{2} = " n o t s p a m "$ . Theo kinh nghiệm, ta có $P (A_{1}) = 0.3$ và $P (A_{2}) = 0.7$ . Gọi B là biến cố có từ "làm giàu" trong một email. Theo kinh nghiệm: $P (B | A_{1}) = 0.9$ và $P (B | A_{2}) = 0.05$ . Vậy nếu bạn nhận được một email có từ "làm giàu" thì xác suất nó là "spam" là bao nhiêu?

Lời giải: $$P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)}\approx 0.89$$