Math_2: Tọa độ và chuyển đổi hệ cơ sở tọa độ.

Tọa độ

• Cho $B=${$v_1,v_2,...,v_n$} là cơ sở của không gian vector $V$ và $x\in V$, ta có:

  $$x = c_1v_1+c_2v_2+...+c_nv_n$$

• $c_1,c_2,...,c_n$ được gọi là tọa độ của x trong cơ sở B, ký hiệu:

  $$\begin{align*} [x]_B=\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ : \\ c_n \\ \end{bmatrix} \end{align*}$$

• Ví dụ 1:

  • Cho $x=(1,-3,2)$ và $B=${$(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)$}, ta có:

    $$\begin{align} x &= (1,-3,2)\\ &=1\times(1,0,0)+ 2\times(0,0,1)-3\times(0,1,0) \end{align}$$
    $$\rightarrow [x]_B= \begin{align*}<br> \begin{bmatrix}<br> 1 \\2\\-3<br> \end{bmatrix}<br> \end{align*}$$

  • Ví dụ 2: Vẫn là $x=(1,-3,2)$ như ví dụ trên và $B'=${$(1,1,0),(2,0,1),(0,-1,0)$}:

    • Cách 1:

      $$\begin{align} x &= (1,-3,2)\\ &=-3\times(1,1,0)+ 2\times(2,0,1)+0\times(0,-1,0) \end{align}$$
      $$\rightarrow [x]_{B'}= \begin{align*}<br> \begin{bmatrix}<br> -3 \\2\\0<br> \end{bmatrix}<br> \end{align*}$$

    • Cách 2: Giải phương trình $B'[x]_{B'}=[x]_{R^n}$, cụ thể:

      $$\begin{align*}<br> \begin{bmatrix}<br> 1&2&0\\<br> 1&0&-1\\<br> 0&1&0\\<br> \end{bmatrix}<br> \begin{bmatrix}<br> c_1\\<br> c_2\\<br> c_3\\<br> \end{bmatrix}<br> =\begin{bmatrix}<br> 1\\<br> -3\\<br> 2\\<br> \end{bmatrix}<br> \end{align*}$$
      • Giải phương trình trên ta có nghiệm $c_1=-3$,$c_2=2$,$c_3=0$.

• Qua 2 ví dụ trên, ta thấy tọa độ một vector trong các cơ sở khác nhau là khác nhau.

Ma trận chuyển cơ sở

• Định nghĩa: Với $P[x]_{B'}=[x]_B$, ta nói $P$ là ma trận chuyển có sở từ B' sang B. Ngược lại, $P^{-1}$ là ma trận chuyển có sở từ B sang B'.

• Bổ đề: Cho $B=${$v_1,v_2,...,v_n$} và $B'=${$u_1,u_2,...,u_n$} là hai cơ sở trong không gian vector $V$. Nếu:

  $$v_1 = c_{11}u_1+c_{21}u_2+...+c_{n1}u_n \\ v_2 = c_{12}u_1+c_{22}u_2+...+c_{n2}u_n \\ : \\ v_n = c_{1n}u_1+c_{2n}u_2+...+c_{nn}u_n$$

  thì ma trận chuyển cơ sở từ $B$ sang $B'$ là:

  $$\begin{align*}<br> P^{-1}=Q=\begin{bmatrix}<br> c_{11}& c_{12}&...& c_{1n}\\<br> c_{21}& c_{22}&...& c_{1n}\\<br> c_{n1}& c_{n2}&...& c_{nn}\<br> \end{bmatrix}<br> \end{align*}$$

• Định lý: Lấy ví dụ từ bổ đề trên, ta có thể tìm $P^{-1}$ bằng cách:

  $$[B'|B]\rightarrow[I_n|P^{-1}]$$

  với $[B^{-1}|B] = [u_1\ u_2\ ...\ u_n| v_1\ v_2\ ...\ v_n ]$.

• Ví dụ: Lấy $B$ và $B'$ từ ví dụ ở trên:

  $$\begin{align*} B=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0\\ \end{bmatrix} và \ B'= \begin{bmatrix} 1&2&0\\ 1&0&-1\\ 0&1&0\\ \end{bmatrix} \end{align*}$$

  ta có:

  $$\begin{align*} [B'|B]=\begin{bmatrix} 1&2&0&1&0&0\\ 1&0&-1&0&0&1\\ 0&1&0&0&1&0\\ \end{bmatrix} \end{align*}$$

  biến đổi Gauss ta đươc:

  $$\begin{align*}<br> [I_3|P^{-1}]=\begin{bmatrix}<br> 1&0&0&1&-2&0\\<br> 0&1&0&0&1&0\\<br> 0&0&1&1&-2&-1\\<br> \end{bmatrix}<br> \end{align*}$$

   

  $$\begin{align*}<br> \rightarrow P^{-1}=\begin{bmatrix}<br> 1&-2&0\\<br> 0&1&0\\<br> 1&-2&-1\\<br> \end{bmatrix}<br> \end{align*}$$