Math_3: Phân phối xác suất rời rạc.

1. Phân phối Bernoulli

• Phân phối Bernoulli mô phỏng kết quả khi tung một con xúc xắc với xác suất có mặt head ($x=1$, "thành công") là $p$ và xác suất xảy ra mặt tail ($x=0$, "thất bại") là $q=1-p$.

  • $x\in S_x=${$0,1$}, $0\leq p\leq 1$

  • $p(x)=p^x(1-p)^{1-x}$

    

  • Đồ thị hàm tích lũy xác suất:

    

  • $E[x]=p$, $VAR[x]=p(1-p)$

2. Phân phối nhị thức (Binomial)

• Mô phỏng xác suất "thành công" $x$ lần trong $n$ lần thực hiện phép thử Bernoulli.

  • $x\in S_x=${$0,1,2,...,n$}, $0\leq p\leq 1$

  • $\begin{align*}p(x)=\begin{pmatrix}n\\x \end{pmatrix}p^x(1-p)^{n-x}\end{align*}$

    

  • $E[x]=np$, $VAR[x]=np(1-p)$

3. Phân phối hình học (Geometric)

• Phiên bản 1: Mô phỏng xác suất "thất bại" $x$ lần trước khi "thành công" của phép thử Bernoulli.

  • $x\in S_x=${$0,1,2,...$}, $0\leq p\leq 1$
  • $p(x)=p(1-p)^x$
  • $E[x]=\frac{1-p}{p}$, $VAR[x]=\frac{1-p}{p^2}$

• Phiên bản 2: Mô phỏng xác suất cần $x$ lần thực hiện phép thử Bernoulli để có lần đầu tiên "thành công".

  • $x\in S_x=${$1,2,...$}, $0\leq p\leq 1$
  • $p(x)=p(1-p)^{x-1}$
  • $E[x]=\frac{1}{p}$, $VAR[x]=\frac{1-p}{p^2}$

4. Phân phối nhị thức âm (Negative Binomial)

• Mô phỏng xác suất cần $x$ lần thực hiện phép thử Bernoulli để có $r$ lần "thành công".

  • $x\in S_x=${$r,r+1,r+2,...$}, $r\in N$, $0\leq p\leq 1$
  • $\begin{align*}p(x)=\begin{pmatrix}x-1\\r-1 \end{pmatrix}p^r(1-p)^{x-r}\end{align*}$
  • $E[x]=\frac{r}{p}$, $VAR[x]=\frac{r(1-p)}{p^2}$

5. Phân phối đều (Uniform)

• Phân phối đều xảy ra nếu xác suất xảy ra các trường hợp là như nhau.

  • $x\in S_x=${$1,2,...,L$}, $L\in N$

  • $p(x)=\frac{1}{L}$

    

  • Đồ thị hàm tích lũy xác suất:

    

  • $E[x]=\frac{L+1}{2}$, $VAR[x]=\frac{L^2-1}{12}$

6. Phân phối Poisson

• Mô phỏng xác suất số lần xảy ra biến cố trong một đơn vị thời gian, biết trong một đơn vị thời gian biến cố xảy ra trung bình $\alpha$ lần.

  • $x\in S_x=${$0,1,2,...$}

  • $p(x)=\frac{\alpha^x}{x!}e^{-x}$

    

  • $E[x]=\alpha, VAR[x]=\alpha$

7. Phân phối Zipf

• Giả sử các từ ngữ được xếp hạng theo độ thông dụng. Gọi $S_x=${$1,2,...,L$} là thứ tự của các từ đó, với $L$ là số lượng từ có trong danh sách.

  • $x\in$ $S_x=${$1,2,...,L$}

  • $p(x)=\frac{1}{c_L}\frac{1}{x}$ với $c_L=\sum_{j=1}^L\frac{1}{j}$

    

  • $E[x]=\frac{L}{c_L}, VAR[x]=\frac{L(L+1)}{2c_L}-\frac{L^2}{c_L^2}$

Tham khảo

• [1] Một số phân phối phổ biến.